Том 521, № 1 (2025)

Доказана повышенная суммируемость градиента решения задачи Зарембы в ограниченной строго липшицевой области для неоднородного уравнения p-Лапласа с младшими членами.

Доказывается разрешимость задачи Дирихле для мягкого лапласиана на стратифицированном множестве на основе модификации известного метода Перрона.

В работе дается строгий вывод гидродинамических уравнений для бесконечного гармонического кристалла, взаимодействующего с полем Клейна–Гордона. Эти уравнения справедливы в гидродинамическом пределе, и их следует рассматривать как аналоги уравнений Эйлера и Навье–Стокса для изучаемой модели.

Работа посвящена изучению комбинаторных свойств детерминированности семейства подстановочных комплексов, состоящих из четырехугольников, склееных друг с другом сторона-к-стороне. Данные свойства являются полезными при построении алгебраических структур с конечным числом определяющих соотношений. В частности, этот метод был использован при построении конечно определенной бесконечной нильполугруппы, удовлетворяющей тождеству x9 = 0. Эта конструкция решает проблему Л.Н. Шеврина и М.В. Сапира. В данной работе исследуется возможность раскраски всего семейства комплексов в конечное число цветов, при котором выполнено свойство слабой детерминированности: если известны цвета трех вершин некоторого четырехугольника, то однозначно определен цвет четвертой стороны, кроме некоторых случаев особого расположения четырехугольника. Даже слабой детерминированности хватает для построения конечно определенной нильполугруппы, при использовании данной конструкции доказательство сокращается в объеме. Свойства детерминированности помогают корректно ввести определяющие соотношения на полугруппе путей, проходящих на построенных комплексах. Определяющие соотношения соответствуют парам эквивалентных коротких путей. Свойства детерминированности изучались ранее в рамках теории замощений; в частности, Кари и Папасоглу был построен набор квадратных плиток, допускающий только апериодические замощения плоскости и обладающий детерминированностью: по цветам двух соседних ребер однозначно определялись цвета двух оставшихся ребер.

В заметке приводится новая формула для сопровождающей матрицы суперпозиции двух полиномов над коммутативным кольцом. Полученные результаты используются для проведения конструктивного доказательства теоремы Планса для двухмостовых узлов, которая утверждает, что первая группа гомологий нечетнолистного циклического накрытия трехмерной сферы, разветвленного над заданным узлом, является прямой суммой двух экземпляров некоторой абелевой группы. Аналогичный результат верен и для гомологий четнолистных накрытий, профакторизованных по приведенной группе гомологий двулистного накрытия. Структура указанных абелевых слагаемых описываются через полиномы Чебышёва второго и четвертого рода.

В дифференциальных уравнениях, описывающих поведение сплошных сред с ползучестью,в соответствии с линейной теории Вольтерра, применимой к широкому перечню материалов с аморфной и гетерогенной структурой, присутствуют операторы интегрального типа. В этих уравнениях ядро интегрального оператора представимо в виде суммы экспонент, либо в виде слабосингулярного ядра (функции Работнова). Получение аналитического решения для рассматриваемых уравнений в ряде случаев проблематично, отсюда возникает необходимость разработки численного метода и алгоритма для решения подобных уравнений, учитывающий память рассматриваемой среды. Для решения этих уравнений в работе используется сеточно-характеристический метод и метод покоординатного расщепления (для многомерных задач). Численно исследована аппроксимация и устойчивость предложенного метода.

Мы приводим простое доказательство полученного недавно [12] результата о полноте модальных логик с оператором, отвечающим пересечению отношений достижимости в модели Крипке. Полнота доказывается для логик в языках двух типов: в первом языке имеются операторы □1,...,□n, отвечающие отношениям R1,...,Rn и подчиняющиеся одномодальной логике L, и оператор □n+1, отвечающий пересечению Rn+1=R1 ∩...∩ Rn; во втором языке имеются операторы □i, i ∈ Σ, отвечающие отношениям Rj и подчиняющиеся логике Lj, и для каждого непустого подмножества индексов I ⊆ Σ оператор □j, соответствующий пересечению ∩i∈I Ri. По сравнению с [12], где доказана полнота для логик с пересечением над логиками K, KD, KT, KB, S4 и S5, предлагаемое здесь (более «равномерное») доказательство удалось применить ко всем 15 так называемым «традиционным» модальным логикам KΛ, для Λ ⊆ {D, T, B, 4, 5}. Техника доказательства основана на построении развертки шкалы и последующего хорнова замыкания отношений.