On the orbital stability of pendulum periodic motions of a rigid body in the Hess case

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The problem of orbital stability of pendulum periodic motions of a heavy rigid body with one fixed point is investigated. Based on the analysis of the liberalized system of equations of perturbed motion, the orbital instability of pendulum rotations is proven. In the case of pendulum oscillations, a transcendental situation occurs when the question of stability cannot be solved by terms of an arbitrarily high order in the expansion of the Hamiltonian of the equations of perturbed motion. It is proven that for most values of the parameters, pendulum oscillations are orbitally unstable.

About the authors

B. S. Bardin

Moscow Aviation Institute (National Research University)

Author for correspondence.
Email: bsbardin@yandex.ru
Russian Federation, Moscow

A. A. Savin

Moscow Aviation Institute (National Research University)

Email: savinaa@mail.ru
Russian Federation, Moscow

References

  1. Hess W. Über die Eulerschen bewegungsgleichungen und über eine neue partikuläre Lösung des Problems der Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt // Math. Ann. 1890. Vol. 37. No. 2. P. 153–181.
  2. Маркеев А.П. Об устойчивости плоских движений твердого тела в случае Ковалевской // ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 1. С. 51–58.
  3. Маркеев А.П., Медведев С.В., Чеховская Т.Н. К задаче об устойчивости маятниковых движений твердого тела в случае Ковалевской // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 1. С. 3–9.
  4. Маркеев А.П. О маятникообразных движениях твердого тела в случае Горячева–Чаплыгина // ПММ. 2004. Т. 68. Вып. 2. С. 282–293.
  5. Bardin B.S. On the Orbital Stability of Pendulum-like Motions of a Rigid Body in the Bobylev–Steklov case // Regul. Chaotic Dyn. 2010 Vol. 15. No. 6. P. 702–714.
  6. Bardin B.S., Rudenko T.V., Savin A.A. On the Orbital Stability of Planar Periodic Motions of a Rigid Body in the Bobylev–Steklov Case // Regul. Chaotic Dyn. 2012. Vol. 17. No. 6. P. 533–546.
  7. Bardin B.S., Savin A.A. On the Orbital Stability of Pendulum-like Oscillations and Rotations of a Symmetric Rigid Body with a Fixed Point // Regul. Chaotic Dyn. 2012. Vol. 17. No. 3–4. P. 243–257.
  8. Бардин Б.С., Савин А.А. Об устойчивости плоских периодических движений симметричного твердого тела с неподвижной точкой // ПММ. 2013. Т. 77. Вып. 6. С. 806–821.
  9. Bardin B.S., Chekina E.A. On the Orbital Stability of Pendulum-like Oscillations of a Heavy Rigid Body with a Fixed Point in the Bobylev-Steklov Case // Rus. J. Nonlin. Dyn. 2021. Vol. 17. No. 4. P. 453–464.
  10. Giacaglia G.E.O. Perturbation Methods in Non-Linear System. New York: Springer, 1972. 369 p.
  11. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с.
  12. Siegel C.L, Moser J.K. Lectures on Celestial Mechanics. Heidelberg: Springer, 1971. 290 p.
  13. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // УМН. 1963. Т. 18. № 6. С. 91–192.
  14. Иртегов В.Д. Устойчивость маятниковых колебаний гироскопа Ковалевской // Тр. Казан. Авиац. ин-та мат. и мех. 1968. Т. 97. С. 38–40.
  15. Брюм А.З. Исследование орбитальной устойчивости при помощи первых интегралов // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 6. С. 873–879.
  16. Болсинов А.В., Борисов А.В., Мамаев И.С. Топология и устойчивость интегрируемых систем // УМН. 2010. Т. 65. Вып. 2. С. 71–132.
  17. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.: Гостехиздат, 1946. 655 с.
  18. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Собр. соч. Т. 2. М.: Изд-во АН СССР, 1956. С. 7–263.
  19. Гашененко И.Н. Кинематическое представление по Пуансо движения тела в случае Гесса // Механика твердого тела. 2010. Вып. 40. С. 12–20.
  20. Бардин Б.С. Об устойчивости периодической гамильтоновой системы с одной степенью свободы в одном трансцендентном случае // ДАН. 2018. Т. 479. № 5. С. 485–488.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences