On kernels of invariant Schrödinger operators with point interactions. Grinevich–Novikov problem

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

According to Berezin and Faddeev, a Schrödinger operator with point interactions +j=1mαjδ(xxj),X={xj}1m3,{αj}1m, is any self-adjoint extension of the restriction x of the Laplace operator  to the subset {fH2(R3):f(xj)=0,1jm} of the Sobolev space H2(3). The present paper studies the extensions (realizations) invariant under the symmetry group of the vertex set X={xj}1m of a regular m-gon. Such realizations HB are parametrized by special circulant matrices Bm×m. We describe all such realizations with non-trivial kernels. А Grinevich–Novikov conjecture on simplicity of a zero eigenvalue of the realization HB with a scalar matrix B=αI and an even  is proved. It is shown that for an odd m non-trivial kernels of all the realizations  with scalar  are two-dimensional. Besides, for arbitrary realizations BαI the estimate dimkerBm1 is proved, and all the invariant realizations of the maximal dimension dimkerB=m1 are described. One of them is the Krein realization, which is the minimal positive extension of the operator x.

About the authors

M. M. Malamud

RUDN University

Author for correspondence.
Email: malamud3m@gmail.com
Russian Federation, Moscow

V. V. Marchenko

Bauman Moscow State Technical University

Email: wmarchcnko@rambler.ru
Russian Federation, Moscow

References

  1. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.
  2. Рид M., Саймон Б., Методы современной математической физики. Т. 3. М.: Мир, 1982. 443 с.
  3. Тайманов И.А., Царев С.П. Двумерные операторы Шрёдингера с быстро убывающим рациональным потенциалом и многомерным L2-ядром // УМН. 2007. Т. 62. № 3 (375). С. 217–218.
  4. Тайманов И.А., Царев С.П. Двумерные рациональные солитоны, построенные с помощью преобразований Мутара, и их распад // ТМФ. 2008. Т. 157. № 3. С. 188–207.
  5. Гриневич П.Г., Новиков Р.Г., Многоточечные рассеиватели со связанными состояниями при нулевой энергии // ТМФ. 2017. Т. 193. № 2. С. 309–314.
  6. Березин Ф.А., Фаддеев Л.Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом // Докл. АН СССР. 1961. Т. 137. № 5. С. 1011–1014.
  7. Гриневич П.Г., Новиков Р.Г. Спектральное неравенство для уравнения Шрёдингера с многоточечным потенциалом // УМН. 2022. Т. 77. № 6 (468). С. 69–76.
  8. Albeverio S., Gesztesy F., Høegh-Krohn R., Holden H. Solvable Models in Quantum Mechanics: texts and monographs in Physics. Berlin–New York: Springer, 1988. 452 p.
  9. Goloschapova N., Malamud M., Zastavnyi V. Radial Positive definite functions and spectral theory of Schrödinger operators with point interactions // Math. Nachr. 2012. V. 285. N 14–15. P. 1839–1859.
  10. Malamud M.M., Schmudgen K. Spectral theory of Schrödinger operators with infinitely many point interactions and radial positive definite functions // J. Funct. Anal. 2012. N 263 (10). P. 3144–3194.
  11. Маламуд М.М. , Марченко В.В. Инвариантные операторы Шрёдингера с точечными взаимодействиями в вершинах правильного многогранника // Матем. заметки. 2021. Т. 110. № 3. С. 471–477.
  12. Деркач В.О., Маламуд М.М. Теория расширений симметрических операторов и граничные задачи. Киев, 2017. 612 с.
  13. Derkach V.A., Malamud M.M. Generalized resolvents and the boundary value problems for hermitian operators with gaps // J. Funct. Anal. 1991. N 95. P. 1–95.
  14. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений, Киев: Наукова думка, 1984. 284 с.
  15. Schmüdgen K. Unboubded Self-adjoint Operators on Hilbert Space. Dordrecht–Heidelberg–New York–London: Springer, 2012.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences