Email this article 
Rotation functions of integrable billiards as orbital invariants
- Authors: Belozerov G.V.1, Fomenko A.T.2
-
Affiliations:
- Lomonosov Moscow State University
- Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics
- Issue: Vol 515, No 1 (2024)
- Pages: 5-10
- Section: MATHEMATICS
- URL: https://rjeid.com/2686-9543/article/view/647910
- DOI: https://doi.org/10.31857/S2686954324010018
- EDN: https://elibrary.ru/ZUJDFT
- ID: 647910
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
Orbital invariants of integrable billiards on two-dimensional book tables are studied at constant energy values. These invariants are calculated from rotation functions defined on one-parameter families of Liouville 2-tori. For two-dimensional billiard books, a complete analogue of Liouville’s theorem is proved, action-angle variables are introduced, and rotation functions are defined. A general formula for the rotation functions of such systems is obtained. For a number of examples, the monotonicity of these functions was studied, and edge orbital invariants (rotation vectors) were calculated. It turned out that not all billiards have monotonic rotation functions, as was originally assumed by A. Fomenko’s hypothesis. However, for some series of billiards this hypothesis is true.
About the authors
G. V. Belozerov
Lomonosov Moscow State University
Author for correspondence.
Email: gleb0511beloz@yandex.ru
Russian Federation, Moscow
A. T. Fomenko
Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics
Email: atfomenko@mail.ru
Academician of the RAS
Russian Federation, MoscowReferences
- Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. Т. 54. № 3. С. 546–575.
- Фокичева В.В. Описание особенностей системы бильярда в областях, ограниченных софокусными эллипсами или гиперболами. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 2014. № 4. С. 18–27.
- Фокичева В.В. Топологическая классификация биллиардов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик. Матем. сб. 2015. Т. 206. № 10. С. 127–176.
- Ведюшкина В.В., Харчева И.С. Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем. Матем. сб. 2018. Т. 209. № 12. С. 17–56.
- Козлов В.В., Трещёв Д.В. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991.
- Драгович В., Раднович М. Интегрируемые биллиарды, квадрики и многомерные поризмы Понселе. Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2010.
- Dragoviс́ V., Radnoviс́ M. Minkowski plane, confocal conics, and billiards. Publications de l Institut Mathematique. 2013. 94(108). 17–30, DOI: 10.2298/ PIM1308017D.
- Dragoviс́ V., Radnoviс́ M. Bicentennial of the Great Poncelet Theorem (1813–2013): Current Advances. Bulletin of the American Mathematical Society. 2012. 51. 3. doi: 10.1090/S0273-0979-2014-01437-5.
- Dragoviс́ V., Radnoviс́ M. Periods of Pseudo-Integrable Billiards. Arnold Mathematical Journal. 2015. 1. 1. 69–73. DOI: 10.1007/ s40598-014-0004-0.
- Dragoviс́ V., Radnoviс́ M. Caustics of Poncelet Polygons and Classical Extremal Polynomials. Regular and Chaotic Dynamics. 2019. 24. 1. 1–35. DOI: 10.1090/ S0273-0979-2014-01437-5.
- Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия. Топология. Классификация. Т. 1, 2. Ижевск, Издательский дом “Удмуртский университет”, 1999. 1: 444 с.; 2: 447 с.
- Ведюшкина В.В. Траекторные инварианты плоских бильярдов, ограниченных дугами софокусных квадрик и содержащих фокусы. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 2021. № 4. С. 48–51.
- Фоменко А.Т., Ведюшкина В.В. Бильярды и интегрируемость в геометрии и физике. Новый взгляд и новые возможности. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 2019. № 3. С. 15–25.
- Ведюшкина (Фокичева) В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые геодезические потоки на ориентируемых двумерных поверхностях и топологические биллиарды. Изв. РАН. Сер. матем. 2019. Т. 83. № 6. С. 63–103.
Supplementary files
