INTEGRABILITY OF A GEODESIC FLOW ON THE INTERSECTION OF SEVERAL CONFOCAL QUADRICS

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The classical Jacobi-Schall theorem states that Tangent lines drawn at all points of a geodesic curve on a quadric in n-dimensional Euclidean space are tangent, as well as to the given quadric, to \(n - 2\) other confocal quadrics, which are the same for all points of the geodesic curve. This theorem immediately implies the integrability of a geodesic flow on an ellipsoid. In this paper, we prove a generalization of this result for a geodesic flow on the intersection of several confocal quadrics. Moreover, if we add the Hooke’s potential field centered at the origin of coordinates to such a system, the integrability of the problem is preserved.

About the authors

G.V. Belozerov

Moscow State University M.V. Lomonosov

Author for correspondence.
Email: gleb0511beloz@yandex.ru
Russian Federation, Moscow

References

  1. Якоби К. Лекции по динамике. М.: Гостехиздат, 1936.
  2. Chasles M. Sur les lignes géodésiques et les lignes de courbure des surfaces du second degré // Journal de Mathématiques Pures et Appliqués. 1846. V. 11. P. 5–20.
  3. Арнольд В.И. Несколько замечаний об эллиптических координатах // Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. VI, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 133, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1984. С. 38–50.
  4. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989. С. 472.
  5. Козлов В.В., Трещев Д.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991.
  6. Драгович В., Раднович М. Интегрируемые биллиарды, квадрики и многомерные поризмы Понселе. М.; Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2010.
  7. Козлов В.В. Топологические препятствия к интегрируемости натуральных механических систем // Докл. АН СССР. 1979. Т. 249. № 6. С. 1299–1302.
  8. Gitler S., Medrano S.L. Intersections of quadrics, moment-angle manifolds and connected sums // Geometry & Topology. 2013. V. 17. P. 1497–1534.
  9. Козлов В.В. Некоторые интегрируемые обобщения задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде // ПММ. 1995. Т. 59. № 1. С. 3–9.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2023 Г.В. Белозеров