Spectral Decompositions of Inverse Gramian Matrices and Energy Metrics of Continuous Dynamical Systems

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

Разработаны новые алгоритмы поэлементного вычисления матриц прямых и обратных грамианов для устойчивых непрерывных линейных MIMO LTI систем на основе спектральных разложений грамианов в форме произведений Адамара. Показано, что матрицы мультипликаторов в произведении Адамара являются инвариантами при различных канонических преобразованиях линейных непрерывных систем. Получены также спектральные разложения обратных матриц грамианов непрерывных динамических систем по спектрам самих матриц грамианов и исходных матриц динамики. Исследованы свойства матриц мультипликаторов в спектральных разложениях грамианов. С помощью этих результатов получены спектральные разложения следующих энергетических метрик: объемов эллипсоидов притяжения, следов матрицы прямого и обратного грамианов управляемости, входной и выходной энергии системы индексов центральности энергетических метрик управляемости, средней минимальной энергии. Даны рекомендации по использованию полученных результатов.

About the authors

I. B Yadykin

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

Email: Jad@ipu.ru
д-р техн. наук Москва

References

  1. Antoulas A.C. Approximation of Large-Scale Dynamical Systems. SIAM. Philadephia, 2005.
  2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.
  3. Benner P., Damm T. Lyapunov equations, Energy Functionals and Model Order Reduction of Bilinear and Stochastic Systems // SIAM J. Control Optim. 2011. V. 49. P. 686–711.
  4. Зубов Н.Е., Зыбин Е.Ю., Микрин Е.А., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Общие аналитические формы решения уравнений Сильвестра и Ляпунова для непрерывных и дискретных динамических систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 2017. № 1. С. 3–20.
  5. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984. 192 с.
  6. Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Рапопорт Л.Б. Теория автоматического управления. Уч. пособие. М.: ЛЕНАНД, 2019. 504 с.
  7. Сачков Ю.Л. Управляемость и симметрии инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах. М.: Физматлит, 2006.
  8. Liu Y., Slotine J., Barabasi A. Controllability of complex networks // Nature. 2011. V. 473. P. 167–173. https://doi.org/10.1038/nature1001
  9. Xiao C.S., Feng Z.M., Shan X.M. On the Solution of the Continuous-Time Lyapunov Matrix Equation in Two Canonical Forms // IEE Proc. 1992. V. 139. No. 3. P. 286–290. https://doi.org/10.1049/ip-d.1992.0038
  10. Mehr F. A Determination of Design of Optimal Actuator Location Based on Control Energy. London/Publisher: City, University of London, 2018.
  11. Hauksdottir A., Sigurdsson S. The continuous closed form controllability Gramian and its inverse // 2009 American Control Conference Hyatt Regency Riverfront, St. Louis, MO, USA June 10–12, 2009. P. 5345–5351. https://doi.org/978-1-4244-4524-0/09
  12. Sreeram V., Agathoklis P. Solution of Lyapunov equation with system matrix in companion form // IEE Proc. D. Control. Theory Appl. 1991. V. 138. No. 6. P. 529–534. https://doi.org/10.1049/ip-d.1991.0074
  13. Dilip A.S.A. The controllability Gramian, the Hadamard product and the optimal actuator // Leader Sensor Select. Problem Nature Phys. 2015. V. 11. P. 779–786. https://doi.org/10.1109/LCSYS.2019.2919278
  14. Мироновский Л.А., Соловьева Т.Н. Анализ и синтез модально-сбалансированных систем // АиТ. 2013. № 4. С. 59–79.
  15. Pasqualetti F., Zampieri S., Bullo F. Controllability metrics, limitations and algorithms for complex networks // IEEE Transact. Control Network Syst. 2014. V. 1. No. 1. P. 40–52. https://doi.org/10.1109/ACC.2014.6858621
  16. Железнов К.О., Хлебников М.В. Применение метода инвариантных эллипсоидов для решения линейной задачи слежения// Тр. МФТИ, 2013. Т. 5. № 4. С. 115–121.
  17. Lindmark G., Altafini C. Minimum energy control for complex networks // Sci. Reports. 2018. V. 8. P. 3188. https://doi.org/10.1038/s41598-018-21398-7
  18. Poolla B.K., Bolognani S., Dorfler F. Optimal Placement of Virtual Inertia in Power Grids // IEEE Transact. Autom. Control. 2017. V. 62. No. 12. P. 6209–6220. https://doi.org/10.1109/TAC.2017.2703302
  19. Summers T., Cortesi F., Lygeros J. On submodularity and controllability in complex dynamical networks // IEEE IEEE Transact. Control Network Syst. 2015. V. 3. No. 1. P. 91–101.
  20. Yadykin I.B. Spectral Decompositions of Gramians of Continuous Stationary Systems Given by Equations of State in Canonical Forms // Mathematics. 2022. V. 10. No. 13. P. 2339. https://doi.org/10.3390/math10132339
  21. Lindmark G., Altafini C. Combining centrality measures for control energy reduction in network controllability problems // Proc. 2019 European Control Conference (ECC). 2019. P. 1518–1523.
  22. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Изд-во Лань, 2009. 726 с.
  23. Hanson B., Peeters R. A Faddeev Sequence Method for solving Lyapunov and Sylvester Equations // Linear Algebra Appl. 1996. V. 241–243. P. 401–430.
  24. Галяев А.А., Ядыкин И.Б. О методах вычисления грамианов и использовании их в анализе линейных динамических систем // АиТ. 2013. № 2. С. 53–74.
  25. Ядыкин И.Б., Галяев И.А. Спектральные разложения грамианов и энергетических метрик непрерывных неустойчивых систем управления // АиТ. 2023. № 12. С. 18–37.
  26. Iskakov A., Yadykin I. Lyapunov modal analysis and participation factors applied to small-signal stability of power systems // Automatica. 2021. V. 132. С. Art. No. 109814. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2021.109814
  27. Bahtadze N.N., Chereshko A.A., Elpashev D.V., Yadykin I.B., Sabitov R.A., Smirnova G.S. Associative Model Predictive Control // IFAC PapersOnLine. Yokohama, Japan: Elsevier, 2023. V. 56. No. 2 P. 7330–7334.
  28. Гарднер М.Ф., Бэрнс Дж.Л. Переходные процессы в линейных системах с сосредоточенными параметрами. М.: Физматлит, 1961.
  29. Gardner M.F., Barns J.L. Transients in linear systems studied by the Laplace transformation // V. 1. Lumped-constant systems. New York, London. Wiley, Chapman and Hall, 1942.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 The Russian Academy of Sciences