О количественной оценке хиральности: правосторонние и левосторонние геометрические объекты

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Доступ платный или только для подписчиков

Аннотация

Рассмотрены два способа количественной оценки хиральности множества, первый из которых использует в качестве меры несовпадения двух множеств вычисление площади их симметрической разности, а второй − расстояние Хаусдорфа между ними. Показано, что эти способы, вообще говоря, не обеспечивают правильную количественную оценку для достаточно широкого класса множеств, такого как ограниченные борелевские множества. На примере плоских треугольников и выпуклых четырехугольников рассмотрена проблема разделения геометрических объектов на правосторонние и левосторонние. На плоскости угловых параметров для треугольников построены линии уровня двух версий меры хиральности. Для пространственной спирали найдены значения двух версий индекса хиральности, опирающихся соответственно на вычисление смешанного произведения векторов и расстояния Хаусдорфа между двумя множествами.

Полный текст

Доступ закрыт

Об авторах

Ю. А. Криксин

Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша Российской академии наук

Автор, ответственный за переписку.
Email: kriksin@imamod.ru
Россия, Москва

В. Ф. Тишкин

Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша Российской академии наук

Email: v.f.tishkin@mail.ru

член-корреспондент РАН

Россия, Москва

Список литературы

  1. Guye P.-A. Influence de la constitution chimique des dérivés du carbone sur le sens el les variations de leur pouvoir rotatoire // Compt. Rend. (Paris) 1890. V. 110. P. 714–716. http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-3066&I=766&M=tdm
  2. Gilat G. Chiral coefficient-a measure of the amount of structural chirality // J. Phys. A Math. Gen. 1989. V. 22. P. L545–L550. https://doi.org/10.1088/0305-4470/22/13/003
  3. Gilat G. On quantifying chirality – Obstacles and problems towards unification // J. Math. Chem. 1994. V. 15. P. 197–205. https://doi.org/10.1007/BF01277559
  4. Zimpel Z. A geometrical approach to the degree of chirality and asymmetry // J. Math. Chem. 1993. V. 14. P. 451–465. https://doi.org/10.1007/bf01164481
  5. Zabrodsky H., Avnir D. Continuous Symmetry Measures. 4. Chirality // J. Am. Chem. Soc. 1995. V. 117. P. 462–473. https://doi.org/10.1021/ja00106a053
  6. Petitjean M. About second kind continuous chirality measures. 1. Planar sets // J. Math. Chem. 1997. V. 22. P. 185–201. https://doi.org/10.1023/A:1019132116175
  7. Petitjean M. Chirality and Symmetry Measures: A Transdisciplinary Review // Entropy 2003. V. 5. № 3. P. 271–312. https://doi.org/10.3390/e5030271
  8. Petitjean M. Chirality in metric spaces // Optim Lett. 2020. V. 14. P. 329–338. https://doi.org/10.1007/s11590-017-1189-7
  9. Dryzun C. Avnir D. Chirality Measures for Vectors, Matrices, Operators and Functions // ChemPhysChem. 2011. V. 12. P. 197–205. https://dx.doi.org/10.1002/cphc.201000715
  10. Mezey P.G. Chirality Measures and Graph Representations // Coputers Math. Applic. 1997. V. 34. № 11. P. 105–112. https://doi.org/10.1016/S0898-1221(97)00224-1
  11. Buda A.B., Auf der Heyde T.P.E., Mislow K. On Quantifying Chirality // Angewandte Chemie. 1992. V. 31. № 8. P. 989–1007. https://doi.org/10.1002/anie.199209891
  12. Buda A.B., Mislow K.A. Hausdorff chirality measure // J. Am. Chem. Soc. 1992. V. 114. № 15. P. 6006–6012. https://doi.org/10.1021/ja00041a016
  13. Buda A.B., Mislow K. On Geometric Measures of Chirality // J. Mol. Struct. 1991. V. 232. P. 1–12. https://doi.org/10.1016/0166-1280(91)85239-4
  14. Fowler P.W. Quatification of chirality: attempting the impossible // Symmetry: Culture and Science. 2005. V. 16. № 4. P. 321-334. https://symmetry.hu/oldsite/content/fowler-05-4.pdf
  15. Rassat A., Fowler P.W. Any Scalene Triangle Is the Most Chiral Triangle // Helvetica Chimica Acta. 2003. V. 86. P. 1728–1740. https://doi.org/10.1002/hlca.200390143
  16. Osipov M.A., Pickup B.T., Fehervari M., Dunmur D.A. Chirality measure and chiral order parameter for a two-dimensional system // Molecular Physics 1998. V. 94. № 2. P. 283-287. https://dx.doi.org/10.1080/002689798168150
  17. Kriksin Y.A., Potemkin I.I., Khalatur P.G. Chirality in Self-Assembling Rod-Coil Copolymers: Macroscopic Homochirality Versus Local Chirality // Polymer Science, Series C. 2018. V. 60. Suppl. 1. P. S135–S147. https://dx.doi.org/10.1134/S1811238218020133
  18. Kitaigorodskii A.I. Organic Chemical Crystallography, NY: Consultants Bureau, 1961. 541 p.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать
2. Рис. 1. Примеры хиральных множеств: а) равнобедренный треугольник ABC (AC = BC) и изолированная точка O на продолжении OA стороны AB; б) левая половина равнобедренного треугольника ABC (AC = BC) (закрашена серым цветом) состоит из точек с рациональными координатами, а правая не закрашенная половина содержит все входящие в нее точки.

Скачать (11KB)
Метаданные
3. Рис. 2. Треугольник ABC и его отражение − треугольник A1B1C1 (серым цветом покрашено множество, образующее симметрическую разность этих треугольников): а) стороны AB и A1B1 лежат на одной прямой, а треугольник A1B1C1 является отражением треугольника ABC относительно перпендикуляра к стороне AB, проходящего через геометрический центр О обоих треугольников; б) отраженный треугольник A1B1C1 повернут вокруг точки O против часовой стрелки на угол φ.

Скачать (11KB)
Метаданные
4. Рис. 3. Область допустимых значений угловых параметров треугольника α > 0, β > 0, α + β < π. Светлые подобласти “1", “3” и “5” соответствуют положительным, а темные подобласти “2", “4” и “6” отрицательным значениям индекса хиральности треугольника.

Скачать (9KB)
Метаданные
5. Рис. 4. Линии уровня численных значений центрированных мер (индексов) хиральности в области (7): а) по Китайгородскому : 1 − граница области (7); 2 − ; 3 − ; 4 − ; 5 − ; 6 − ; 7 − ; “ʘ” обозначает точку глобального максимума , , ; б) по Хаусдорфу : 1 − граница области (7); 2 − ; 3 − ; 4 − ; 5 − ; “ʘ” обозначает точку глобального максимума , , .

Скачать (30KB)
Метаданные
6. Рис. 5. Параметризация выпуклого четырехугольника с помощью четырех независимых положительных угловых параметров : , , , .

Скачать (10KB)
Метаданные
7. Рис. 6. Зависимости различных версий индексов хиральности пространственной спирали (10) от безразмерного параметра λ = h/r: 1 − ; 2 − ; 3 − ; 4 −  (пунктирная линия).

Скачать (12KB)
Метаданные

© Российская академия наук, 2024