Колебания упругих тел с мелкими тяжелыми включениями (концентрированными массами)

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Построена асимптотика частот и мод собственных колебаний составного анизотропного тела с группой мелких включений, масса каждого из которых превосходит или сравнима по порядку с массой окружающего материала. Если часть поверхности тела жестко защемлена, то моды собственных колебаний в главном локализуются около включений, а старшие члены асимптотик собственных частот описываются спектром задач о включениях единичных плотности и размера в невесомом пространстве. В случае поверхности тела, свободной от внешних воздействий, возникает взаимодействие удаленных мелких тяжелых включений: предельной задачей служит совокупность систем уравнений для включений в пространстве, объединенных в единую спектральную задачу интегральными членами при спектральном параметре. Строение интегро-дифференциальных уравнений зависит как от показателя концентрации масс, так и от взаимного расположение включений. Обоснование полученных асимптотических разложений проведено в наиболее сложном случае сверхтяжелых концентрированных масс при расположении центров нескольких включений на одной прямой – остальные ситуации обрабатываются по той же схеме.

Об авторах

С. А. Назаров

Институт проблем машиноведения РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: srgnazarov108@gmail.com
Россия, Санкт-Петербург

Список литературы

  1. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. M.: Наука, 1977.
  2. Bertram A. Elasticity and Plasticity of Large Deformations. Berlin: Springer, 2005.
  3. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
  4. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.
  5. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.
  6. Гомес Д., Назаров С.А., Перес М.Е. Формальная асимптотика собственных частот колебаний упругого трехмерного тела с концентрированными массами // Зап. научн. Сем. Петербург. отделения матем. института РАН. 2007. Т. 342. С. 31–76.
  7. Sanchez-Palencia É. Perturbation of eigenvalues in thermoelasticity and vibration of systems withconcentrated masses // in: Trends in Appl. of Pure Math. to Mech. (Palaiseau, 1983). Lecture Notes in Phys. Vol. 195. Berlin: Springer, 1984. P. 346–368.
  8. Sanchez-Palencia É, Tchatat H. Vibration de systemes elastiques avec masses concentrees // in: Rendiconti del Seminario matematico della Universita e politecnico di Torino. 1984. V. 42. № 3. P. 43–63. (Palaiseau, 1983). Lecture Notes in Phys. Vol. 195. Berlin: Springer, 1984. P. 346–368.
  9. Oleinik O.A. Homogenization problems in elasticity. Spectrum of singularly perturbed operators // in: Non Classical Continuum Mechanics. 1987. Lecture Notes ser. Vol. 22. Cambridge: Univ. Press, P. 188–205.
  10. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: изд-во МГУ, 1990. 312 с.
  11. Олейник О.А. О собственных колебаниях тел с концентрированными массами // в сб.: Совр. Пробл. Прикл. Матем. и Матем. Физ. М.: Наука, М., 1988. С. 101–128.
  12. Головатый Ю.Д., Назаров С.А., Олейник О.А. Асимптотическое разложение собственных значений и собственных функций задач о колебаниях среды с концентрированными возмущениями // Тр. матем. Ин-та АН СССP. 1990. Т. 192. С. 42–60.
  13. Lobo M., Pérez E. Asymptotic behavior of the vibrations of a body having many concentrated masses near the boundary // C.R. Acad. Sci. Paris. Séerie II. 1992. V. 314. P. 13–18.
  14. Lobo M., Pérez E. Vibrations of a membrane with many concentrated masses near the boundary // Math. Models&Methods in Appl. Sci. 1995. V. 5. № 5. P. 565–585.
  15. Gómez D., Lobo M., Pérez E. On the eigenfunctions associated with the high frequencies in systems with a concentrated mass // J. Math. Pures Appl. 1999. V. 78. P. 841–865.
  16. Rybalko V. Vibration of elastic systems with a large number of tiny heavy inclusions // Asympt. Anal. 2002. V. 32. № 1. P. 27–62.
  17. Chechkin G.A., Pèrez M.E., Yablokova E.I. Non-periodic boundary homogenization and “light” concentrated masses // Indiana Univ. Math. J. 2005. V. 54. № 2. P. 321–348.
  18. Чечкин Г.А. Асимптотические разложения собственных значений и собственных функций эллиптического оператора в области с большим количеством близко расположенных на границе “легких” концентрированных масс. Двумерный случай // Изв. РАН. Cер. матем. 2005. Т. 69. № 4. С. 161–204.
  19. Назаров С.А. Асимптотика собственных чисел задачи Неймана при концентрации масс на тонком тороидальном множестве // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2006. Вып. 3 (№ 15). С. 61–71.
  20. Космодемьянский Д.А., Шамаев А.С. Спектральные свойства некоторых задач механики сильно неоднородных сред. // СМФН. 2006. Т. 17. С. 88–109.
  21. Chechkin G.A., Cioranescu D., Damlamian A., Piatnitski A.L. On boundary value problem with singular inhomogeneity concentrated on the boundary // J. de Mathématiques Pures et Appliquées. 2012. V. 98. № 2. P. 115–138.
  22. Nazarov S.A., Perez M.E. On multi-scale asymptotic structure of eigenfunctions in a boundary value problem with concentrated masses near the boundary // Revista Matemática Complutense. 2018. V. 31. № 1. P. 1–62.
  23. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia É. Vibration and Coupling of Continuous System. Asymptotic Methods. Berlin, Heidelberg: Springer, 1989. 421 p.
  24. Leal C., Sanchez-Hubert J. Perturbation of the eigenvalues of a membrane with a concentrated mass // Quart. Appl. Math. 1989. V. 47. № 1. P. 93–103.
  25. Oleinik O.A., Sanchez-Hubert J., Yosifian G.A. On vibrations of a membrane with concentrated masses // Bull. Sci. Math. 1991. V. 115. № 1. P. 1–27.
  26. Назаров С.А. “Дальнодействие” концентрированных масс в двумерных задачах Неймана и Дирихле // Изв. РАН. Серия матем. 2023. Т. 87. № 1. С. 85–118.
  27. Назаров С.А. Об одной задаче Санчес-Паленсия с краевыми условиями Неймана // Изв. вузов. Матем. 1989. № 11. С. 60–66.
  28. Nazarov S.A. Interaction of concentrated masses in a harmonically oscillating spatial body with Neumann boundary conditions // RAIRO Model. Math. Anal. Numer. 1993. V. 27. № 6. P. 777–799.
  29. Gomez J., Pérez E., Vilasánchez M. Asymptotics for the eigenelements of the Neumann spectral problem with concentrated masses // Indiana Univ. Math. J. 2007. V. 56. № 4. P. 1939–1987.
  30. Назаров С.А. Неравенства Корна для упругих сочленений массивных тел, тонких пластин истержней // УМН. 2008. Т. 63. № 1. С. 37–110.
  31. Назаров С.А. Модели упругого сочленения пластины со стержнями, основанные на точечных условиях Соболева и самосопряженных расширениях дифференциальных операторов // Диф. ур-я. 2021. Т. 57. № 5. С. 700–716.
  32. Mazja W.G., Nasarow S.A., Plamenewski B.A. Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singulär gestörten Gebieten. 1 & 2 Berlin: Akademie, 1991.
  33. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенство Корна // УМН. 1988. Т. 43. № 5. С. 55–98.
  34. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: 1980.
  35. Hardy G.H. Note on a theorem of Hilbert // Mathematische Zeitschrift. 1920. V. 6. P. 314–317.
  36. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Московск. матем. об-ва. 1963. Т. 16. С. 219–292.
  37. Nazarov S.A., Plamenevsky B.A. Elliptic Problems in Domains with Piecewise Smooth Boundaries. Berlin, New York: Walter de Gruyter. 1994.
  38. Kozlov V.A., Maz’ya V.G., Rossmann J. Elliptic Boundary Value Problems in Domains with Point Singularities. Providence: Amer. Math. Soc., 1997.
  39. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: изд-во Ленингр.ун-та, 1980.
  40. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М., 1979.
  41. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.
  42. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Оценки в Lp и в классах Гельдера и принцип максимума Миранда–Агмона для решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точками на границе // Math. Nachr. 1977. Bd. 77. S. 25–82.
  43. Назаров С.А. Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов // УМН. 1999. Т. 54. № 5. С. 77–142.
  44. Назаров С.А. Самосопряженные эллиптические краевые задачи. Полиномиальное свойство и формально положительные операторы // Проблемы матем. анализа. Вып. 16. 1997. С. 167–192.
  45. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957. Т. 12. № 5. С. 3–122.
  46. Ван Дайк М.Д. Методы возмущений в механике жидкостей. М.: Мир, 1967. 310 с.
  47. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.
  48. Назаров С.А. Искусственные краевые условия для поиска поверхностных волн в задаче дифракции на периодической границе // ЖВММФ. 2006. Т. 46. № 12. С. 2265–2276.
  49. Козлов В.A., Мазья В.Г. Спектральные свойства операторных пучков, порожденных эллиптическими краевыми задачами в конусе // Функц. анализ и его прил. 1988. Т. 22. № 2. С. 38–46.
  50. Kozlov V.A., Maz’ya V.G., Movchan A.B. Asymptotic Analysis of Fields in Multi-Structures. Oxford Math. Monogr. Oxford: Clarendon, 1999.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Российская академия наук, 2025